3414. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и BB_{1}
. Биссектриса угла ACB
пересекает эти высоты в точках F
и L
. Докажите, что середина отрезка FL
равноудалена от точек A_{1}
и B_{1}
.
Решение. Пусть точки F
и L
лежат на высотах соответственно BB_{1}
и AA_{1}
, A_{2}
и B_{2}
— проекции середины M
отрезка FL
на прямые BC
и AC
соответственно, точка P
— проекция точки F
на BC
, а Q
— проекция точки L
на AC
. Точка M
лежит на биссектрисе угла BAC
, поэтому она равноудалена от сторон этого угла, т. е. MA_{2}=MB_{2}
. При симметрии относительно биссектрисы CM
отрезок PA_{1}
перейдёт в равный ему отрезок B_{1}Q
, а так как M
— середина FL
, то A_{2}
и B_{2}
— середины этих отрезков, поэтому A_{1}A_{2}=B_{1}B_{2}
. Значит, прямоугольные треугольники MA_{2}A_{1}
и MB_{2}B_{1}
равны по двум катетам. Следовательно, MA_{1}=MB_{1}
. Что и требовалось доказать.