3415. Точки P
и Q
— середины оснований AD
и BC
трапеции ABCD
соответственно. Оказалось, что AB=BC
, а точка P
лежит на биссектрисе угла B
. Докажите, что BD=2PQ
.
Решение. Первый способ. Пусть Q_{1}
— середина стороны AB
. Треугольники BPQ_{1}
и BPQ
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому PQ=PQ_{1}
, а так как PQ_{1}
— средняя линия треугольника ABD
, то PQ_{1}=\frac{1}{2}BD
. Следовательно, PQ=PQ_{1}=\frac{1}{2}BD
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Точка P
лежит на биссектрисе угла ABC
и BC\parallel AD
, поэтому \angle APB=\angle CBP=\angle ABP
. Значит, треугольник APB
— равнобедренный, причём AB=AP
. Таким образом, BC=AB=AP=PD
и BC\parallel AP
. Следовательно, четырёхугольник ABCP
— ромб, а BPDC
— параллелограмм.
Точка O
пересечения диагоналей CP
и BD
этого параллелограмма — середина каждого из отрезков CP
и AD
. Медианы PQ
и BO
равнобедренного треугольника BPC
, проведённые к равным сторонам, равны, следовательно, PQ=BO=\frac{1}{2}BD
. Что и требовалось доказать.