3416. ABCD
— выпуклый четырёхугольник, AB=BC
и AD=DC
. На диагонали AC
нашлась такая точка K
, что AK=BK
и четырёхугольник KBCD
— вписанный. Докажите, что BD=CD
.
Решение. Обозначим \angle ABK=\angle BAC=\angle BCA=\alpha
, \angle DAC=\angle DCA=\beta
. Тогда
\angle BAD=\angle BAC+\angle DAC=\alpha+\beta,
\angle ABD=\angle ABK+\angle KBD=\angle ABK+\angle KCD=\alpha+\beta=\angle BAD
(вписанные углы KBD
и KCD
опираются на одну и ту же дугу). Значит, треугольник ADB
— равнобедренный. Следовательно, BD=AD=CD
. Что и требовалось доказать.