3421. На сторонах AB
, AC
и BC
треугольника ABC
взяли точки K
, L
и M
соответственно так, что \angle BAC=\angle KLM=\angle BCA
. Докажите, что если AL+LM+MB\gt CL+LK+KB
, то LM\lt LK
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\angle KLM=\angle BCA=\alpha
, \angle AKL=\beta
. Тогда \angle ALK=180^{\circ}-\alpha-\beta
, поэтому
\angle MLC=180^{\circ}-\angle KLM-\angle ALK=180^{\circ}-\alpha-(180^{\circ}-\alpha-\beta)=\beta=\angle AKL.
Значит, треугольник CLM
подобен треугольнику AKL
по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен k
. Тогда
CM=k\cdot AL,~LM=k\cdot KL,~CL=k\cdot AK.
Так как MB=BC-CM
, KB=AB-AK
и AB=BC
, то из условия следует, что
AL+LM+BC-CM\gt CL+LK+AB-AK~\Rightarrow
\Rightarrow~AL+LM+AK\gt CL+LK+CM~\Rightarrow
\Rightarrow~AL+AK-LK\gt CL+CM-LM=
=k\cdot AK+k\cdot AL-k\cdot KL=k(AK+AL-KL).
Значит, k\lt1
. Следовательно, LM=k\cdot KL\lt KL
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2006 г., второй тур, 10 класс