3424. Радиус окружности с центром O
равен 2\sqrt{5}
. В сектор AOB
с углом 45^{\circ}
, вписан прямоугольник KLMN
. Сторона KL
расположена на отрезке OA
, вершина M
— на дуге AB
, а вершина N
— на отрезке OB
. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них вдвое больше другой.
Ответ. 2; 4 или 4\sqrt{\frac{5}{13}}
; 2\sqrt{\frac{5}{13}}
.
Решение. Пусть KL=2KN
. Обозначим KN=LM=x
. Из прямоугольных треугольников OKN
и OLM
находим, что
OK=KN=x,~OM^{2}=OL^{2}+LM^{2}=(OK+KL)^{2}+LM^{2}=(x+2x)^{2}+x^{2}=9x^{2}+x^{2}=10x^{2},
а так как OM^{2}=(2\sqrt{5})^{2}=40
, то 10x^{2}=40
. Отсюда находим, что x=2
. Следовательно, KN=LM=2
и KL=MN=4
.
Если же KN=2KL
, то аналогично получим, что KN=LM=4\sqrt{\frac{5}{13}}
и KL=MN=2\sqrt{\frac{5}{13}}
.