3427. В треугольнике ABC
известно, что AB=10
, BC=17
, AC=21
. Точка M
расположена на стороне AC
, причём AM:MC=2:1
. Найдите BM
.
Ответ. 8\sqrt{2}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. По теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
\cos\alpha=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{100+441-289}{2\cdot10\cdot21}=\frac{3}{5},
а так как
AM=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}\cdot21=14,
то из треугольника ABM
находим, что
BM^{2}=AB^{2}+AM^{2}-2AB\cdot AM\cos\alpha=
=10^{2}+14^{2}-2\cdot10\cdot14\cdot\frac{3}{5}=100+196-168=128.
Следовательно, AM=\sqrt{128}=8\sqrt{2}
.