3430. В треугольнике ABC
известно, что AC=\frac{AB+BC}{2}
. Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
, середины сторон AB
и BC
и вершина B
лежат на одной окружности.
Указание. 1) Середины сторон AB
и BC
, центр описанной окружности и вершина B
лежат на одной окружности.
2) Середины сторон AB
и BC
, центр вписанной окружности и вершина B
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть BK
— биссектриса треугольника ABC
. Обозначим AB=c
, BC=a
. Тогда AC=\frac{a+c}{2}
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a},
значит, AK=\frac{c}{2}
и CK=\frac{a}{2}
.
Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и BC
треугольника ABC
, O
— центр его описанной окружности, I
— центр вписанной окружности. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Центр описанной окружности треугольника есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, поэтому OM\perp AB
и ON\perp BC
. Из точек M
и N
отрезок OB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности S_{1}
с диаметром OB
.
Центр вписанной окружности треугольника есть точка пересечения биссектрис, поэтому AI
— биссектриса угла BAC
, а BI
— биссектриса угла ABC
. Треугольники AMI
и AKI
равны по двум сторонам и углу между ними (AM=AK=\frac{c}{2}
, \angle MAI=\angle KAI=\frac{\alpha}{2}
). Следовательно,
\angle MIK=2\angle AIK=2(\angle BAI+\angle ABI)=2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\alpha+\beta,
значит,
\angle BIM=180^{\circ}-\angle MIK=180^{\circ}-\alpha-\beta=\gamma.
Отрезок MK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому MN\parallel AC
, значит, \angle BNM=\angle ACB=\gamma=\angle BIM
.
Таким образом, из точек N
и I
, лежащих по одну сторону от прямой BM
, отрезок BM
виден под одним и тем же углом, значит, точки B
, M
, I
и N
лежат на одной окружности S_{2}
.
Поскольку через точки B
, M
и N
, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, окружности S_{1}
и S_{2}
совпадают. Следовательно, точки B
, M
, N
, O
и I
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2009-2010, XXXVI, окружной этап, задача 6, 10 класс