3499. Докажите, что:
a) против большей стороны треугольника лежит больший угол;
б) против большего угла треугольника лежит большая сторона.
Указание. Между сторонами AB
и BC
большего угла треугольника проведите луч, образующий со стороной AB
угол, равный меньшему углу A
.
Решение. а) Пусть в треугольнике ABC
сторона BC
больше стороны AC
. На стороне BC
отложим отрезок CA_{1}
, равный AC
. Поскольку CA_{1}=AC\lt BC
, то точка A_{1}
лежит на отрезке BC
. Поэтому луч AA_{1}
проходит между сторонами угла BAC
. Следовательно,
\angle BAC\gt\angle CAA_{1}=\angle CA_{1}A\gt\angle ABC
(угол CA_{1}A
— внешний угол треугольника AA_{1}B
).
б) Пусть теперь \angle BAC\gt\angle ABC
. Если сторона BC
меньше стороны AC
, то получаем противоречие с ранее доказанным. Если же BC=AC
, то треугольник ABC
равнобедренный и \angle BAC=\angle ABC
, что противоречит условию. Следовательно, BC\gt AC
,
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — с. 40
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — с. 151
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.62, с. 256