3501. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.
Указание. Из двух наклонных, проведённых к прямой из одной точки больше та, проекция которой больше.
Решение. Первый способ. Пусть проекция H
точки A
на прямую BC
принадлежит стороне BC
треугольника ABC
. Если точка M
лежит между точками H
и C
, то HC\gt HM
. Поэтому AM\lt AC
.
Если M
лежит между точками B
и H
, то BH\gt MH
. Поэтому AM\lt AB
.
Если M
и H
совпадают, то AM=AH\lt AC
.
Аналогично рассматривается случай, когда точка H
лежит на продолжении стороны BC
.
Второй способ. Если AM
— высота треугольника ABC
, то утверждение очевидно. Предположим теперь, что AM
не высота. Тогда один из углов AMB
или AMC
— тупой. Пусть это угол AMB
. Тогда в треугольнике AMB
сторона AB
— наибольшая, так как она лежит против наибольшего угла. Аналогично рассматривается второй случай.