3502. Докажите, что если точка M
лежит внутри треугольника ABC
, то MB+MC\lt AB+AC
.
Указание. Продолжите BM
до пересечения со стороной AC
в точке N
и примените неравенство треугольника к треугольникам ABN
и MNC
.
Решение. Продолжим BM
до пересечения со стороной AC
в точке N
. Тогда
AB+AN\gt BN=BM+MN,~MN+NC\gt MC.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
AB+AN+NC+MN\gt MN+BM+MC,
или
AB+AC+MN\gt BM+MC+MN.
Отсюда следует, что AB+AC\gt BM+MC
.
Источник: Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7—9: Учебник для 7—9 кл. средней школы. — М.: Просвещение, 1990. — № 304, с. 86
Источник: Шень А. Х. Геометрия в задачах. — М.: МЦНМО, 2013. — № 52, с. 20