3504. Докажите, что медиана треугольника ABC
, проведённая из вершины A
, меньше полусуммы сторон AB
и AC
.
Указание. Отложите на продолжении медианы AM
за точку M
отрезок, равный AM
.
Решение. Отложим на продолжении медианы AM
за точку M
отрезок MK
, равный AM
. Тогда ABKC
— параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK
, получим, что
2AM=AK\lt AB+BK=AB+AC.
Отсюда следует, что
AM\lt\frac{AB+AC}{2}.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 11, с. 44
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1948, билет 13, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 48-13-1, с. 11
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 64, с. 97
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — № 16, с. 76
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 181(а), с. 31
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.1, с. 222