3505. Докажите, что медиана треугольника ABC
, проведённая из вершины A
, больше модуля полуразности сторон AB
и AC
.
Решение. Отложим на продолжении медианы AM
за точку M
отрезок MK
, равный AM
. Тогда ABKC
— параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK
, получим, что
2AM=AK\gt|AB-BK|=|AB-AC|.
Отсюда следует, что
AM\gt\frac{|AB-AC|}{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1948, билет 13, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 48-13-1, с. 11