3508. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.
Указание. Перпендикуляр меньше наклонной.
Решение. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
— высоты треугольника, опущенные на стороны a
, b
, c
соответственно. Тогда h_{1}\leqslant b
, h_{2}\leqslant c
, h_{3}\leqslant a
, причём хотя бы в одном из случаев неравенство строгое. Сложив почленно эти три неравенства, получим, что
h_{1}+h_{2}+h_{3}\lt a+b+c.
Что и требовалось доказать.