3509. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.
Указание. Докажите сначала, что отрезок AM
, соединяющий вершину A
треугольника ABC
с точкой M
, принадлежащей стороне BC
, меньше большей из сторон AB
и AC
.
Решение. Сначала докажем, что отрезок AM
, соединяющий вершину треугольника ABC
, с точкой M
, принадлежащей стороне BC
, меньше большей из сторон AB
и AC
. Действительно, один из углов AMC
и AMB
— прямой или тупой. Тогда либо AM\lt AC
, либо AM\lt AB
. Отсюда следует требуемое утверждение.
Пусть теперь N
— точка на стороне AC
. Тогда MN
меньше наибольшего из отрезков AM
и MC
. Кроме того, MC\lt BC
, а AM
меньше наибольшего из отрезков AB
и AC
. Следовательно, MN
меньше наибольшей из сторон треугольника ABC
.
Примечание. Из доказанного утверждения следует, что диаметр треугольника (наибольшее из расстояний между точками, принадлежащими треугольнику) равен его наибольшей стороне.