3510. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин больше половины периметра.
Указание. Примените неравенство треугольника.
Решение. Пусть d_{1}
, d_{2}
, d_{3}
— расстояния от точки M
, взятой внутри треугольника со сторонами a
, b
, c
, до вершин этого треугольника. Тогда
d_{1}+d_{2}\gt c,~d_{1}+d_{3}\gt b,~d_{2}+d_{3}\gt a.
Сложив почленно эти три неравенства, получим, что
2(d_{1}+d_{2}+d_{3})\gt a+b+c.
Отсюда следует, что
d_{1}+d_{2}+d_{3}\gt\frac{a+b+c}{2}.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 20, с. 10
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 38, с. 11
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.30, с. 224
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — пример 2, с. 95