3512. Докажите, что любая диагональ четырёхугольника меньше половины его периметра.
Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника.
Решение. Пусть AC
— диагональ четырёхугольника ABCD
. Тогда
AC\lt AB+BC,~AC\lt AD+DC.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
2AC\lt AB+BC+CD+AD.
Отсюда следует, что
AC\lt\frac{AB+BC+CD+AD}{2}.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5, с. 222
Источник: Шень А. Х. Геометрия в задачах. — М.: МЦНМО, 2013. — № 49, с. 18