3513. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника ABCD
не превосходит \frac{1}{2}(AB\cdot BC+AD\cdot DC)
.
Указание. Каждая диагональ разбивает выпуклый четырёхугольник на два треугольника.
Решение. Поскольку четырёхугольник ABCD
выпуклый, то диагональ AC
разбивает его на два треугольника — ABC
и ADC
. Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC+\frac{1}{2}AD\cdot DC\sin\angle ADC\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}(AB\cdot BC+AD\cdot DC).