3515. Докажите, что в любом треугольнике сумма длин его медиан больше \frac{3}{4}
периметра, но меньше периметра.
Указание. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан AM
, BN
и CK
треугольника ABC
. Поскольку
OA+OB\gt AB,~OA+OC\gt AC,~OB+OC\gt BC,
то, сложив почленно эти три неравенства, получим, что
2(OA+OB+OC)\gt AB+BC+AC,~\mbox{или}
2\left(\frac{2}{3}AM+\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CK\right)\gt AB+BC+AC.
Отсюда следует, что
AM+BN+CK\gt\frac{3}{4}(AB+BC+AC).
Отложим на продолжении медианы AM
за точку M
отрезок MA_{1}
, равный AM
. Тогда ABA_{1}C
— параллелограмм. Поэтому
BA_{1}=AC,~2AM=AA_{1}\lt AB+BA_{1}=AB+AC.
Отсюда следует, что AM\lt\frac{1}{2}(AB+BC)
. Аналогично докажем, что
BN\lt\frac{1}{2}(AB+BC),~CK\lt\frac{1}{2}(AC+BC).
Сложив почленно эти три неравенства, получим:
AM+BN+CK\lt AB+BC+AC.