3516. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник. Докажите, что AB+CD\lt AC+BD
.
Указание. Пусть M
— точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Рассмотрите треугольники AMB
и CMD
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Тогда
AB\lt AM+BM,~CD\lt CM+DM.
Сложив эти неравенства, получим, что
AB+CD\lt AM+BM+CM+DM=
=(AM+CM)+(BM+DM)=AC+BD.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.14, с. 229
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.15, с. 223
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — пример 1, с. 95