3517. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого пятиугольника ABCDE
больше периметра, но меньше удвоенного периметра.
Указание. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BE
. Тогда AM+MB\gt AB
. Запишите ещё четыре аналогичных неравенства и сложите все пять почленно.
Решение. Применим неравенство треугольника к треугольникам ABC
, BCD
, CDE
, DEA
и EAB
:
AC\lt AB+BC,~BD\lt BC+CD,~CE\lt CD+DE,~
AD\lt DE+EA,~BE\lt AB+AE.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
AC+BD+CE+DA+BE\lt2(AB+BC+CD+DE+AE).
Пусть теперь M
, N
, K
, L
и P
— точки пересечения диагоналей AC
и BE
, AC
и BD
, BD
и CE
, CE
и AD
, AD
и BE
соответственно. Применим неравенство треугольника к треугольникам AMB
, BNC
, CKD
, DLE
и APE
:
AB\lt AM+MB,~BC\lt BN+NC,~CD\lt CK+KD,
DE\lt DL+LE,~AE\lt AP+PE.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
AB+BC+CD+DE+AE\lt
\lt AM+MB+BN+NC+CK+KD+DL+LE+AP+PE=
=(AM+NC)+(BN+KD)+(CK+LE)+(DL+AP)+(PE+MB)\lt
\lt AC+BD+CE+AD+BE.