3522. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведённых из той же вершины.
Указание. Пусть CF
и CM
— биссектриса и медиана данного треугольника. Докажите, что \angle CFM\gt\angle CMF
.
Решение. Пусть CH
, CF
и CM
— высота, биссектриса и медиана треугольника ABC
. Если этот треугольник равнобедренный (AC=CB)
, то утверждение очевидно.
Пусть BC\gt AC
. Тогда CH\lt CF
(перпендикуляр меньше наклонной). Из свойства биссектрисы треугольника следует, что AF\lt BF
. Поэтому AF
меньше половины AB
, т. е. AF\lt AM
и луч CM
проходит между сторонами угла BCF
. Кроме того, так как BC\gt AC
, то \angle BAC\gt\angle ABC
. Следовательно,
\angle CFM=\angle BAC+\angle ACF=\angle BAC+\angle FCB\gt\angle ABC+\angle MCB=\angle CMF.
Поэтому в треугольнике CFM
против большего угла CFM
лежит большая сторона CM
, т. е. CF\lt CM
.