3525. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник. Докажите, что если периметр треугольника ABD
меньше периметра треугольника ACD
, то AB\lt AC
.
Указание. Докажите, что AB+CD\lt AC+BD
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
. Применяя неравенство треугольника к треугольникам AMB
и CMD
, докажем, что
AB+CD\lt AC+BD.
Из условия задачи следует, что
AB+BD\lt AC+CD.
Сложив почленно эти два неравенства, получим, что 2AB\lt2AC
. Следовательно, AB\lt AC
.
Источник: Васильев Н. Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. — М.: Наука, 1974. — № 101, с. 20
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.16, с. 223