3528. На продолжении стороны AC
треугольника ABC
отложен отрезок CD=CB
. Докажите, что если AC\gt BC
, то угол ABD
— тупой.
Указание. Проведите биссектрису угла ACB
.
Решение. Первый способ. Пусть CK
— биссектриса треугольника ABC
. Поскольку AC\gt BC
, то \angle ABC\gt\angle BAC
, а так как \angle ACK=\angle BCK
, то \angle AKC\gt\angle BKC
. Следовательно, угол AKC
— тупой.
С другой стороны,
\angle ACK=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}(\angle CBD+\angle CDB)=\frac{1}{2}\cdot2\angle CDB=\angle CDB.
Следовательно, CK\parallel BD
и \angle ABD=\angle AKC
. Поэтому \angle ABD\gt90^{\circ}
.
Второй способ. Пусть окружность с центром в точке C
и радиусом CD=CB
пересекает отрезок AC
в точке M
. Тогда
\angle ABD=\angle ABM+\angle MBD.
Поскольку \angle MBD=90^{\circ}
, то \angle ABD\gt90^{\circ}
.