3529. Середины соседних сторон выпуклого многоугольника соединены отрезками. Докажите, что периметр многоугольника, образованного этими отрезками, не меньше половины периметра исходного многоугольника.
Указание. Докажите, что сумма всех n
диагоналей данного n
-угольника (n\gt3)
, соединяющих его вершины через одну, больше периметра данного n
-угольника.
Решение. Для треугольника утверждение очевидно. Пусть число n
сторон данного многоугольника больше 3. Проведём в нём все n
диагоналей, соединяющих его вершины через одну. Каждая из этих диагоналей вдвое больше параллельного ей отрезка, соединяющего середины двух соседних сторон многоугольника. Поэтому достаточно доказать, что сумма этих n
диагоналей больше периметра данного многоугольника.
Для доказательства последнего утверждения заметим, что даже сумма кусочков этих диагоналей, примыкающих к вершинам многоугольника, больше периметра данного многоугольника.
Источник: Васильев Н. Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. — М.: Наука, 1974. — № 106, с. 20