3533. Существует ли треугольник, все высоты которого меньше 1, а площадь больше или равна 10?
Ответ. Да.
Указание. Приведите пример такого треугольника.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием, равным 40, и высотой, опущенной на основание, равной \frac{1}{2}
. Тогда его площадь равна 10, а боковая сторона равна
\sqrt{20^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{1601}}{2}.
Высота, проведённая из вершины основания, равна удвоенной площади, делённой на боковую сторону, т. е. \frac{40}{\sqrt{1601}}\lt1
.