3534. В треугольнике ABC
известно, что \angle B\geqslant90^{\circ}
. На отрезке BC
взяты точки M
и N
так, что лучи AN
и AM
делят угол BAC
на три равные части. Докажите, что BM\lt MN\lt NC
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника.
Решение. В треугольнике ABN
отрезок AM
— биссектриса. Поскольку угол ABN
— тупой или прямой, то AN\gt AB
. Поэтому из свойства биссектрисы треугольника следует, что BM\lt MN
. Поскольку
\angle AMC=\angle ABC+\angle BAM,
то \angle AMC
— тупой. Следовательно, AC\gt AM
и MN\lt NC
.