3535. В треугольнике ABC
угол B
— прямой или тупой. На стороне BC
взяты точки M
и N
так, что BM=MN=NC
. Докажите, что \angle BAM\gt\angle MAN\gt\angle NAC
.
Указание. На продолжении отрезка AM
за точку M
отложите отрезок MK
, равный AM
.
Решение. В треугольнике ABN
сторона AN
лежит против тупого или прямого угла ABN
, поэтому AN\gt AB
. На продолжении отрезка AM
за точку M
отложим отрезок MK
, равный AM
. Тогда четырёхугольник ANKB
— параллелограмм. Поэтому NK=AB\lt AN
.
В треугольнике ANK
против стороны AN
лежит угол AKN
, больший угла, лежащего против стороны KN
, т. е. угла MAN
. Поэтому
\angle BAM=\angle AKN\gt\angle MAN.
Аналогично докажем, что \angle MAN\gt\angle NAC
.