3540. Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.
Указание. Пусть AM
и BK
— биссектрисы треугольника ABC
и BC\gt AC
. Отложите от луча AM
в полуплоскости, содержащей вершину C
, луч под углом, равным половине угла ABC
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения биссектрис AM
и BK
треугольника ABC
, BC\gt AC
. Обозначим
\angle ABC=\beta,~\angle CAB=\alpha,~\angle ACB=\gamma.
Тогда \alpha\gt\beta
.
Отложим от луча AM
в полуплоскости, содержащей точку C
, луч по углом \frac{\beta}{2}
. Пусть F
— точка пересечения этого луча с биссектрисой BK
. Отрезок MF
виден из точек B
и A
под одним и тем же углом \frac{\beta}{2}
. Следовательно, точки B
, M
, F
и A
лежат на одной окружности. Кроме того, \angle ABM=\beta\lt90^{\circ}
(так как \beta\lt\alpha
) и
\angle FAB=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\lt\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}.
Острые вписанные углы ABM
и FAB
опираются на хорды AM
и BF
, и \angle FAB\gt\angle ABM
. Поэтому BF\gt AM
. Следовательно,
BK=BF+FK\gt BF\gt AM.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 361(а), с. 294
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 55, с. 186
Источник: Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, 1967. — № 512, с. 47