3540. Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.
Указание. Пусть AM
и BK
— биссектрисы треугольника ABC
и BC\gt AC
. Отложите от луча AM
в полуплоскости, содержащей вершину C
, луч под углом, равным половине угла ABC
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения биссектрис AM
и BK
треугольника ABC
, BC\gt AC
. Обозначим
\angle ABC=\beta,~\angle CAB=\alpha,~\angle ACB=\gamma.
Тогда \alpha\gt\beta
.
Отложим от луча AM
в полуплоскости, содержащей точку C
, луч по углом \frac{\beta}{2}
. Пусть F
— точка пересечения этого луча с биссектрисой BK
. Отрезок MF
виден из точек B
и A
под одним и тем же углом \frac{\beta}{2}
. Следовательно, точки B
, M
, F
и A
лежат на одной окружности. Кроме того, \angle ABM=\beta\lt90^{\circ}
(так как \beta\lt\alpha
) и
\angle FAB=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\lt\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}.
Острые вписанные углы ABM
и FAB
опираются на хорды AM
и BF
, и \angle FAB\gt\angle ABM
. Поэтому BF\gt AM
. Следовательно,
BK=BF+FK\gt BF\gt AM.