3542. Докажите, что расстояние между серединами диагоналей выпуклого четырёхугольника не меньше модуля полуразности пары его противоположных сторон.
Указание. Соедините середины диагоналей с серединой одной из сторон.
Решение. Пусть M
и N
— середины диагоналей AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
и AD\gt BC
. Если P
— середина AB
, то
PM=\frac{1}{2}BC,~PN=\frac{1}{2}AD,~PM\parallel BC,~PN\parallel AD.
Если стороны BC
и AD
не параллельны, то в треугольнике PMN
MN\lt PN-PM=\frac{AD-BC}{2}.
Если BC\parallel AD
, то точка M
принадлежит отрезку PN
и
MN=PN-PM=\frac{AD-BC}{2}.
Аналогично рассматривается случай, когда AD\lt AC
. Если AD=BC
, то утверждение очевидно.
Источник: Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, 1967. — № 506, с. 47