3543. Пусть AD
— биссектриса треугольника ABC
. Через вершину A
проведена прямая, перпендикулярная AD
, а из вершины B
опущен перпендикуляр BB_{1}
на эту прямую. Докажите, что периметр треугольника BB_{1}C
больше периметра треугольника ABC
.
Указание. Рассмотрите образ точки B
при симметрии относительно прямой AB_{1}
.
Решение. Заметим, что AB_{1}
— биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
. Поэтому при симметрии относительно прямой AB_{1}
точка B
перейдёт в некоторую точку K
, лежащую на продолжении стороны AC
за точку A
. При этом точка B_{1}
— середина отрезка BK
. Тогда
BB_{1}+B_{1}C=KB_{1}+B_{1}C\gt KC=AK+AC=AB+AC.
Следовательно, периметр треугольника BB_{1}C
больше периметра треугольника ABC
.
Источник: Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, 1967. — № 507, с. 47