3545. Площадь треугольника равна 1. Докажите, что средняя по длине его сторона не меньше \sqrt{2}
.
Указание. Предположите противное.
Решение. Пусть a\leqslant b\leqslant c
— стороны треугольника, \varphi
— угол между сторонами a
и b
. Предположим, что b\lt\sqrt{2}
. Тогда и a\lt\sqrt{2}
. Пусть S
— площадь треугольника. Тогда
S=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\varphi\lt\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\sin\varphi\leqslant1.
А это противоречит условию задачи.