3545. Площадь треугольника равна 1. Докажите, что средняя по длине его сторона не меньше \sqrt{2}
.
Указание. Предположите противное.
Решение. Пусть a\leqslant b\leqslant c
— стороны треугольника, \varphi
— угол между сторонами a
и b
. Предположим, что b\lt\sqrt{2}
. Тогда и a\lt\sqrt{2}
. Пусть S
— площадь треугольника. Тогда
S=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\varphi\lt\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\sin\varphi\leqslant1.
А это противоречит условию задачи.
Источник: Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы. — М.: Просвещение, 1991. — № 91, с. 155
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.32, с. 224