3547. Докажите, что в треугольнике со сторонами a
, b
, c
медиана m
, проведённая к стороне c
, удовлетворяет неравенству m\gt\frac{a+b-c}{2}
.
Указание. Примените неравенство треугольника к каждому из двух треугольников, на которые данная медиана разбивает исходный треугольник.
Решение. Медиана разбивает данный треугольник на два треугольника со сторонами m
, a
, \frac{c}{2}
и m
, b
, \frac{c}{2}
. Применим к каждому из них неравенство треугольника:
m+\frac{c}{2}\gt a,~m+\frac{c}{2}\gt b.
Сложив почленно эти два неравенства, получим, что
2m+c\gt a+b.
Отсюда следует, что m\gt\frac{a+b-c}{2}
.