3547. Докажите, что в треугольнике со сторонами a
, b
, c
медиана m
, проведённая к стороне c
, удовлетворяет неравенству m\gt\frac{a+b-c}{2}
.
Указание. Примените неравенство треугольника к каждому из двух треугольников, на которые данная медиана разбивает исходный треугольник.
Решение. Медиана разбивает данный треугольник на два треугольника со сторонами m
, a
, \frac{c}{2}
и m
, b
, \frac{c}{2}
. Применим к каждому из них неравенство треугольника:
m+\frac{c}{2}\gt a,~m+\frac{c}{2}\gt b.
Сложив почленно эти два неравенства, получим, что
2m+c\gt a+b.
Отсюда следует, что m\gt\frac{a+b-c}{2}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.1, с. 228
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.1, с. 222
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 11, с. 44