3548. Пусть a
, b
, c
— стороны произвольного треугольника. Докажите, что a^{2}+b^{2}+c^{2}\lt2(ab+bc+ac)
Указание. Примените неравенство треугольника: a\gt|b-c|
.
Решение. Возведём в квадрат обе части каждого из трёх следующих неравенств:
a\gt|b-c|,~b\gt|a-c|,~c\gt|a-b|.
Получим, что
a^{2}\gt b^{2}-2bc+c^{2},~b^{2}\gt a^{2}-2ac+c^{2},~c^{2}\gt a^{2}-2ab+b^{2}.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}\gt2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc.
Отсюда следует, что a^{2}+b^{2}+c^{2}\lt2(ab+bc+ac)
.