3548. Пусть a
, b
, c
— стороны произвольного треугольника. Докажите, что a^{2}+b^{2}+c^{2}\lt2(ab+bc+ac)
Указание. Примените неравенство треугольника: a\gt|b-c|
.
Решение. Возведём в квадрат обе части каждого из трёх следующих неравенств:
a\gt|b-c|,~b\gt|a-c|,~c\gt|a-b|.
Получим, что
a^{2}\gt b^{2}-2bc+c^{2},~b^{2}\gt a^{2}-2ac+c^{2},~c^{2}\gt a^{2}-2ab+b^{2}.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}\gt2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc.
Отсюда следует, что a^{2}+b^{2}+c^{2}\lt2(ab+bc+ac)
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.7, с. 228
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.7, с. 222
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 808, с. 100