3551. Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка O
лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого.
Указание. Один из углов между отрезками, соединяющими точку O
с центрами данных кругов, не превосходит 60^{\circ}
. В соответствующем треугольнике этот угол не наибольший.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
, O_{5}
, O_{6}
— центры данных кругов. Один из углов между отрезками, соединяющими точку O
с этими точками, не превосходит 60^{\circ}
. Пусть это угол O_{1}OO_{2}
. Тогда в треугольнике O_{1}OO_{2}
этот угол не может быть наибольшим. Поэтому и сторона O_{1}O_{2}
— не наибольшая в этом треугольнике.
Пусть O_{1}O_{2}\leqslant OO_{1}
. Поскольку OO_{1}
меньше радиуса круга с центром O_{1}
, то точка O_{2}
принадлежит этому кругу.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 20.5, с. 407