3552. Через точку O
пересечения медиан треугольника ABC
проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M
и N
. Докажите, что NO\leqslant2MO
.
Указание. Пусть точки M
и N
принадлежат соответственно сторонам AB
и AC
треугольника ABC
. Через вершину C
проведите прямую, параллельную AB
.
Решение. Пусть точка M
принадлежит стороне AB
, а N
— стороне AC
треугольника ABC
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную стороне AB
, и продолжим MN
до пересечения с этой прямой в точке N_{1}
.
Пусть C_{1}
— середина AB
. Из подобия треугольников N_{1}OC
и MOC_{1}
находим, что
ON_{1}=\frac{OC}{OC_{1}}\cdot OM=2OM.
Следовательно, ON\leqslant ON_{1}=2OM
.