3556. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон. Докажите, что этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
Указание. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
и MN=\frac{AD+BC}{2}
. На продолжении отрезка BN
за точку N
отложите отрезок NK
, равный BN
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
и MN=\frac{AD+BC}{2}
. На продолжении отрезка BN
за точку N
отложим отрезок NK
, равный BN
. Из равенства треугольников BCN
и KDN
(по двум сторонам и углу между ними) следует, что DK=BC
и DK\parallel BC
.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABK
, то
AK=2MN=AD+BC=AD+DK.
Следовательно, точка D
лежит на отрезке AK
и AD\parallel BC
.