3556. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон. Докажите, что этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
Указание. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
и MN=\frac{AD+BC}{2}
. На продолжении отрезка BN
за точку N
отложите отрезок NK
, равный BN
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
и MN=\frac{AD+BC}{2}
. На продолжении отрезка BN
за точку N
отложим отрезок NK
, равный BN
. Из равенства треугольников BCN
и KDN
(по двум сторонам и углу между ними) следует, что DK=BC
и DK\parallel BC
.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABK
, то
AK=2MN=AD+BC=AD+DK.
Следовательно, точка D
лежит на отрезке AK
и AD\parallel BC
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1948, XI, 2-й тур, 7-8 классы
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 27, с. 197
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — № 4, с. 21
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 11, с. 34