3559. Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит \frac{\sqrt{3}}{4}
.
Указание. Наименьший угол треугольника не превосходит 60^{\circ}
.
Решение. Пусть \alpha
— наименьший угол треугольника. Тогда \alpha\leqslant60^{\circ}
. Если этот угол заключён между сторонами a
и b
, а S
— площадь треугольника, то
S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 1, равна \frac{\sqrt{3}}{4}
.
Источник: Польские математические олимпиады. — 1960, задача 5
Источник: Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. — М.: Мир, 1978. — № 71, с. 21
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 15.38, с. 11