3564. Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то сумма трёх его медиан не меньше, чем учетверённый радиус описанной окружности.
Указание. Если точка O
лежит внутри треугольника AMB
, то
AM+MB\geqslant AO+OB.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— медианы треугольника, M
— их точка пересечения. Поскольку треугольник не тупоугольный, то центр O
описанной окружности лежит внутри треугольника или на его стороне.
Пусть точка O
лежит внутри треугольника ABM
. Тогда
AM+BM\gt AO+OB=2R
(где R
— радиус описанной окружности), или
\frac{2}{3}AA_{1}+\frac{2}{3}BB_{1}\gt2R.
Поэтому AA_{1}+BB_{1}\gt3R
.
Пусть K
— точка пересечения прямой CO
со стороной AB
. Тогда
\angle COC_{1}\gt\angle OC_{1}K=90^{\circ},
т. е. угол \angle COC_{1}
— тупой. Поэтому CC_{1}\gt CO=R
. Следовательно,
AA_{1}+BB_{1}+CC_{1}\gt4R.
Источник: Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976. — № 189, с. 39
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1963, задача 3
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 10.76, с. 266
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.79, с. 258