3566. Радиус вписанной окружности треугольника равен \frac{1}{3}
. Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.
Указание. Большая высота треугольника опущена на меньшую его сторону.
Решение. Пусть a\leqslant b\leqslant c
— сторона данного треугольника, h
— его наибольшая высота, r=\frac{1}{3}
— радиус вписанной окружности. Тогда h
— высота, опущенная на наименьшую сторону a
.
Если S
— площадь треугольника, то
S=\frac{1}{2}ah=\frac{a+b+c}{2}r.
Поэтому
ah=\frac{a+b+c}{3},~3ah=a+b+c\geqslant3a.
Следовательно, h\geqslant1
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 15.63