3567. Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше 1.
Указание. Докажите, что основание треугольника меньше 2, а высота меньше 1.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
, O
— их точка пересечения, BP
— высота треугольника. Тогда
AC\lt AO+OC\lt AA_{1}+CC_{1}=2,~BP\leqslant BB_{1}\lt1.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BP\lt\frac{1}{2}\cdot2\cdot1=1.