3567. Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше 1.
Указание. Докажите, что основание треугольника меньше 2, а высота меньше 1.
Решение. Пусть
AA_{1}
,
BB_{1}
,
CC_{1}
— биссектрисы треугольника
ABC
,
O
— их точка пересечения,
BP
— высота треугольника. Тогда
AC\lt AO+OC\lt AA_{1}+CC_{1}=2,~BP\leqslant BB_{1}\lt1.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BP\lt\frac{1}{2}\cdot2\cdot1=1.

Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 15.45(а), с. 12
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 633, с. 80