3568. Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше \frac{1}{\sqrt{3}}
.
Указание. Если данный треугольник остроугольный, то его наибольший угол не меньше 60^{\circ}
.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
, BP
и CQ
— его высоты, S
— площадь.
Предположим сначала, что треугольник ABC
— остроугольный, а \angle A
— его наибольший угол. Тогда
60^{\circ}~\leqslant~\angle A\lt90^{\circ},~BP~\leqslant~BB_{1}\lt1,~CQ\leqslant CC_{1}\lt1.
Следовательно,
S=\frac{1}{2}AB\cdot CQ=\frac{1}{2}CQ\cdot\frac{BP}{\sin\angle A}\lt\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Если \angle A\geqslant90^{\circ}
, то
AC\lt CC_{1}\lt1,~AB\lt BB_{1}\lt1.
Следовательно,
S=\frac{1}{2}AC\cdot AB\sin\angle A\leqslant\frac{1}{2}AC\cdot AB\lt\frac{1}{2}\lt\frac{1}{\sqrt{3}}.