3572. Докажите, что среди всех треугольников с данным основанием и высотой, опущенной на это основание, наибольшую величину противолежащего угла имеет равнобедренный треугольник.
Указание. Через вершину равнобедренного треугольника проведите касательную к описанной окружности.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
(AB=AC)
с основанием BC=a
и высотой AM=h
. Центр окружности, описанной около этого треугольника, лежит на прямой AM
. Проведём в точке A
касательную к этой окружности.
Если A_{1}
— любая точка этой касательной, отличная от A
, то высота треугольника BA_{1}C
, опущенная на BC
также равна h
. Поскольку точка A_{1}
лежит вне проведённой окружности, то отрезок BA_{1}
пересекает эту окружность. Пусть K
— отличная от B
точка пересечения. Тогда
\angle BAC=\angle BKC=\angle BA_{1}C+\angle KCA_{1}\gt\angle BA_{1}C.