3573. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны d_{1}
и d_{2}
. Какое наибольшее значение может иметь его площадь?
Ответ. \frac{1}{2}d_{1}d_{2}
.
Указание. Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Решение. Пусть S
— площадь данного четырёхугольника, \alpha
— угол между его диагоналями. Тогда
S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}d_{1}d_{2}.
Равенство достигается, когда диагонали взаимно перпендикулярны.