3574. Докажите, что среди всех треугольников ABC
с фиксированным углом \angle A=\alpha
и площадью S
наименьшую сторону BC
имеет равнобедренный треугольник с основанием BC
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Обозначим AB=c
, AC=b
. Тогда
S=\frac{1}{2}bc\sin\alpha.
Отсюда находим, что bc=\frac{2S}{\sin\alpha}
. По теореме косинусов
BC^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=(b-c)^{2}+2bc-2bc\cos\alpha=
=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos\alpha)=(b-c)^{2}+\frac{4S(1-\cos\alpha)}{\sin\alpha}.
Поскольку второе слагаемое постоянно, то сторона BC
минимальна, если b=c
.
Источник: Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976. — № 27, с. 13
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1902, задача 3
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 11.1, с. 282
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 11.1, с. 273