3576. Проведите через вершину A
остроугольного треугольника ABC
прямую так, чтобы она не пересекала сторону BC
и чтобы сумма расстояний до неё от вершин B
и C
была наибольшей.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о средней линии трапеции.
Решение. Проведём через вершину A
произвольную прямую, не пересекающую сторону BC
треугольника ABC
. Пусть B_{1}
, C_{1}
и M_{1}
— проекции точек B
, C
и M
(середины BC
) на эту прямую. Тогда
MA\geqslant MM_{1}=\frac{1}{2}(BB_{1}+CC_{1}).
Поэтому искомая прямая должна быть перпендикулярной медиане AM
.
Источник: Зетель С. И. Задачи на максимум и минимум. — М.—Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — № 8, с. 15
Источник: Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, 1967. — № 500, с. 47