3577. Пусть AA_{1}
и BB_{1}
— медианы треугольника ABC
. Докажите, что AA_{1}+BB_{1}\gt\frac{3}{2}AB
.
Указание. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Применяя неравенство треугольника к треугольнику AMB
, получим, что
AM+MB\gt AB,~\mbox{или}~\frac{2}{3}AA_{1}+\frac{2}{3}BB_{1}\gt AB.
Следовательно, AA_{1}+BB_{1}\gt\frac{3}{2}AB
.
Источник: Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, 1967. — № 515, с. 48