3578. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
взяты точки соответственно C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
. Известно, что отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке M
. Докажите, что сумма MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}
не превосходит наибольшей стороны треугольника ABC
.
Указание. \frac{MA_{1}}{AA_{1}}=\frac{S_{\triangle BMC}}{S_{\triangle ABC}}
.
Решение. Поскольку
\frac{MA_{1}}{AA_{1}}=\frac{S_{\triangle BMC}}{S_{\triangle ABC}},~\frac{MB_{1}}{BB_{1}}=\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle ABC}},~\frac{MC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle ABC}},
то
\frac{MA_{1}}{AA_{1}}+\frac{MB_{1}}{BB_{1}}+\frac{MC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_{\triangle BMC}+S_{\triangle AMC}+S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle ABC}}=1.
Пусть d
— длина наибольшей стороны треугольника ABC
. Тогда
1=\frac{MA_{1}}{AA_{1}}+\frac{MB_{1}}{BB_{1}}+\frac{MC_{1}}{CC_{1}}\geqslant
\geqslant\frac{MA_{1}}{d}+\frac{MB_{1}}{d}+\frac{MC_{1}}{d}=\frac{MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}}{d}.
Следовательно, MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}\leqslant d
.
Примечание. Из доказанного утверждения следует, что периметр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
не превосходит удвоенной наибольшей стороны треугольника ABC
.