3579. Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая. (Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды.)
Указание. Опустите перпендикуляры из центров окружностей на прямую, проходящую через точку пересечения окружностей.
Решение. Пусть M
— общая точка окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
; прямая, проходящая через точку M
пересекает окружности в точках A
и B
соответственно.
Если P
и Q
— проекции точек O_{1}
и O_{2}
на эту прямую, то P
— середина AM
, а Q
— середина BM
. Тогда
PQ=\frac{1}{2}AM+\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}AB,~PQ\le O_{1}O_{2},
причём равенство достигается, если прямая AB
перпендикулярна общей хорде двух окружностей.
Следовательно, искомая прямая параллельна линии центров O_{1}O_{2}
данных окружностей.