3580. В четырёхугольнике ABCD
диагональ AC
делит другую диагональ пополам и BC+CD=AB+AD
. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Указание. Пусть M
— точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Отложите на луче MA
отрезок MA_{1}
, равный CM
.
Решение. Пусть M
— середина диагонали BD
. Если AM=CM
, то ABCD
— параллелограмм.
Предположим, что AM\gt CM
. Возьмём на отрезке AM
точку A_{1}
такую, что A_{1}M=CM
. Тогда A_{1}BCD
— параллелограмм. Поэтому
A_{1}B=CD,~A_{1}D=BC,~A_{1}B+A_{1}D=BC+CD=AB+AD,
что невозможно, так как A_{1}B+A_{1}D\lt AB+AD
. Аналогично для случая AM\lt CM
.