3583. Докажите, что если стороны треугольника удовлетворяют неравенству a^{2}+b^{2}\gt5c^{2}
, то c
— наименьшая сторона.
Указание. Докажите, то если a\leqslant c
, то a^{2}+b^{2}\leqslant5c^{2}
.
Решение. Предположим, что c
— не наименьшая сторона, например, a\leqslant c
. Тогда
a^{2}\leqslant c^{2},~b^{2}\lt(a+c)^{2}\leqslant(2c)^{2}=4c^{2}.
Следовательно, a^{2}+b^{2}\leqslant5c^{2}
, что противоречит условию.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.24, с. 229
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.25, с. 223
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 636, с. 80