3583. Докажите, что если стороны треугольника удовлетворяют неравенству a^{2}+b^{2}\gt5c^{2}
, то c
— наименьшая сторона.
Указание. Докажите, то если a\leqslant c
, то a^{2}+b^{2}\leqslant5c^{2}
.
Решение. Предположим, что c
— не наименьшая сторона, например, a\leqslant c
. Тогда
a^{2}\leqslant c^{2},~b^{2}\lt(a+c)^{2}\leqslant(2c)^{2}=4c^{2}.
Следовательно, a^{2}+b^{2}\leqslant5c^{2}
, что противоречит условию.